16 mai 2026 : modélisation en Lean
lien
Mais le problème reste entier : même si cette modélisation me plaît bien, car elle ramène dans des domaines bien maîtrisés et connus des mathématiques, comme l'algèbre "tropicale" (ou min-plus, dans laquelle l'addition est remplacé par le min et la multiplication est remplacée par l'addition) et les calculs de plus courts chemins par un algorithme comme Floyd-Warshall sur une matrice dont les éléments sont initialisés pour ceux sur la diagonale à 0, pour ceux qui sont connus aux distances entre nombres premiers successifs (ou bien 3 ou bien écart entre le plus grand nombre premier inférieur ou égal à n-3 et n), et pour tous les autres à ∞ (car min(∞, x)=x ) on est confrontée à un problème de taille : on ne sait pas démontrer que le graphe contient un centre autre que sa pointe et que ce second centre est d'excentricité n. Peut-être que les spécialistes, en utilisant le théorème de Perron-Frobenius (??) pour l'algèbre tropicale sauraient le faire... Tant pis !
Les 4 premières matrices d'écarts
lien (on n'écrit pas toutes les cases ∞ pour que cela reste lisible) et les petits graphes triangulaires (assez vite illisibles aussi),
lien.
15 mai 2026 : Je poste ici où j'en suis : discussion gemini sur ce qu’il faudrait peut-être démontrer sur la matrice d’adjacence pour pouvoir utiliser la notion de centre d’un graphe pour démontrer CG
lien En fait, hier, ça bouclait, en éliminant le centre trivial du coin, on n'était pas sûre de conserver les centres de valeur
n dans le graphe triangulaire épointé, ou disons que prouver qu'il y en avait, c'était pareil que prouver CG, j'étais désespérée, mais il y a une dernière piste, du côté des matrices min-plus...
lien
Trouver les décomposants de Goldbach, c'est équivalent à trouver les centres d'un graphe d'une forme particulière (triangulaire épointée), ce graphe a ses arêtes orientées, il est sans cycle, ses arêtes sont étiquetées par des valeurs positives. Ici, je colle la note explicative :
lien (en)
lien.
Au début, j'avais écrit une note en prose, là
lien,
pour montrer comment s'étaient agencées les idées, mais ça n'était pas assez désossé. C'est vrai qu'écrire dans la version désossée "découle des définitions", c'était culotté (Jean-Pierre Serre donne l'exemple dans sa conférence "How to write mathematics badly", le titre dit bien ce qu'il en est, c'est marrant quand il le raconte alors pourquoi pas) mais malvenu : il faut du culot pour penser qu'on pourrait..., et il faut être capable de se faire comprendre, c'est bien le moins ; si on n'est pas comprise, c'est qu'on a mal expliqué, peut-être, ou qu'on n'a pas encore suffisamment compris, pour bien expliquer. Pour tenter de mieux expliquer le "découle des définitions", j'ai écrit ça
lien.
Alors, le programme, à la fin, peut sembler complètement idiot : on prend deux nombres premiers, et au lieu de tester directement que leur somme vaut n, on teste que le max(2n-p-q,p+q) vaut n : si max(2n-p-q,p+q), c'est 2n-p-q et que 2n-p-q=n alors on a n=p+q, et si max(2n-p-q,p+q), c'est p+q alors on a aussi n=p+q, mais ce qui importe, c'est que le max en question correspond justement à l'excentricité du sommet dans le graphe triangulaire épointé. Je colle les petits graphes, jusqu'à 60 (ça tombe bien),
lien
;
après, on ne voit plus rien, les étiquettes des arêtes disparaissent, mais on a confiance en l'algorithme !
Enfin, cet après-midi, j'ai utilisé des matrices d'adjacence dans l'algèbre min-plus, parce qu'un calcul avec ces matrices permet aussi de trouver les excentricités, par un calcul de pivot (là, il faut que j'approfondisse, je ne sais pas encore tout à fait pourquoi ça marche ). Les premières matrices sont ici
lien,
et ce n'est pas trivial, le passage graphe-matrice d'adjacence, sauf si on utilise la numérotation des éléments des matrices par ligne et colonne car alors tout se simplifie : (i,j) est bêtement relié à (i,j+1) et (i+1,j).
Dernier truc franchement audacieux (pour ne pas dire gonflé) : si on "scale" les carrés géométriques, en se disant que le côté n'est pas de longueur n mais qu'il est de longueur 1, alors les chemins vers les nombres premiers décomposants sont toujours à distance 1/2 de la source, et on n'a qu'à se dire que le 1/2 en question, c'est celui de l'hypothèse de Riemann, et alors, ce serait fou, émouvant de simplicité, et fou...!