Far-West

Le critère de positivité de Weil, auquel il est fait référence dans plusieurs articles de Connes et Consani, correspond à la positivité dont il est question dans la dernière page de l'article de Weil de 1952 (il est également question de cette positivité selon wikipedia dans l'article de 1972 de Weil, on pourra le consulter ici) :

Il y a un autre critère de positivité dont on parle, en lien avec l'hypothèse de Riemann, c'est le critère de Li, défini par Xian-Jin Li en 1997. En 2008, on avait pu lire le screenshot sur le blog "Not even wrong" de Peter Woit :

L'article de Peter Woit est encore disponible ici : lien mais le post original n'est plus sur le blog, du coup, je doute, le passé bouge encore et puis avec les pseudo, comment savoir qui est qui ?...
Musique de cow-boys
M'a été proposée à la lecture par une IA quelconque me sachant intéressée la version mise à jour en 2025 du texte de Li de 2008 et je l'ai transcrite en ${\rm \LaTeX\;}$ et fait traduire par Google traduction. La traduction est consultable ici (et dans la traduction est fourni le lien vers la version en anglais).
Je n'ai rien compris mais j'ai trouvé marrante l'égalité en bas de la page 10 entre le produit et la somme de deux termes qui s'avèrent égaux, sous prétexte qu'ils sont d'une forme particulière (on part de $ab$, et on aboutit à $a+b$). $$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\left(1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n\right)\left(1-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n\right)\\ =1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n+\left(1-\frac{1}{s}\right)^n\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n\\ =1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n+\left[\left(1-\frac{1}{s}\right)\left(1-\frac{1}{1-s}\right)\right]^n\\ =1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n+\left[1-\frac{1}{s}-\frac{1}{1-s}+\frac{1}{s(1-s)}\right]^n\\ =1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n+\left[1-\frac{(1-s)}{s(1-s)}-\frac{s}{s(1-s)}+\frac{1}{s(1-s)}\right]^n\\ =1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n+\left[1-\frac{(1-s)+s}{s(1-s)}+\frac{1}{s(1-s)}\right]^n\\ =1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n+\left[1-\frac{1}{s(1-s)}+\frac{1}{s(1-s)}\right]^n\\ =1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n+\left[1\right]^n\\ =1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n+1-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n\\ =\left(1-\left(1-\frac{1}{s}\right)^n\right)+\left(1-\left(1-\frac{1}{1-s}\right)^n\right)\\ \end{array} $$