Topos

Un exemple d'une petite idée qui pourrait être complexifiée pour appréhender la notion de topos, je crois :

- Si on dit "moins par moins donne plus, plus par plus donne plus, plus par moins donne moins, et moins par plus donne moins.", on voit bien dans quel contexte on le dit et ce que ça veut dire.

- Si maintenant, on dit "la somme de deux pairs est un pair, la somme d'un pair et d'un impair ou d'un impair et d'un pair est un impair, et la somme de deux impairs est un pair", pareil, on voit bien ce que ça signifie.

On "sent bien" que ces deux trucs, c'est la même chose, on peut trouver une bijection, un pont, qui permet de passer d'un contexte à l'autre, et qui permet de transposer ou projeter les raisonnements qu'on pourrait faire dans l'un des contextes dans l'autre contexte.

De façon beaucoup plus compliquée, on utilisait la même idée en fac en théorie de la complexité : pour prouver qu'un problème est NP-complet, il faut trouver une bijection entre ce problème et un problème NP-complet connu et répertorié, il y a un certain nombre de tels problèmes, on les trouve dans le Garey et Johnson (voir la page wikipedia de ce livre), et quand on trouve une telle bijection, on est vraiment content ;-)

L'idée du topos, c'est un peu ça, je crois, mais en montant d'un niveau, il s'agit d'un lieu dont les instances (i.e. d'une similitude perçue entre 2 situations) appartiennent à 2 domaines différents des maths (par exemple, le passage de l'algèbre à la géométrie, ou, uglier comme ils disent, le passage du modèle de Peano à celui de Zermelo-Fraenkel, ça serait possible, ça ?) Les champs d'application étant très différents, j'imagine que ça a été utilisé sur des portions de domaines mais je ne le sais pas.