Trucs minuscules, vraiment

Légendes des copies d'écran au-dessus :

- Un zéro de zêta puissance lui-même, c'est vraiment mini-mini !

- Oui mais là aussi, c'est minus !

La fonction qui rend les zéros de zêta indiscernables au sens de Galois peut être décrite ainsi : quel que soit l'entier que l'on considère, lorsqu'on l'élève à la puissance d'un zéro de zêta, la norme du complexe obtenu est toujours égale à la racine de l'entier considéré.
Voyons un exemple pour fixer un peu les idées : prenons l'entier 13 dont la racine carrée vaut à peu près 3.605. Considérons les parties imaginaires des 5 premiers zéros de zêta qui valent à peu près b1=14.134, b2=21.022, b3=25.010, b4=30.424 et b5=32.935.
Elevons 13 aux puissances 0.5+b_i*sqrt(-1) à l'aide de python téléchargeable sur tablette en partance.
On obtient pow(13,0.5+14.134j)=0.448-3.577j
(noter au passage que python appelle i "j", pourquoi ?)
ou encore pow(13,0.5+21.022j)=-3.14-1.77j
ou encore pow(13,0.5+25.01j)=0.903+3.49j
ou pour le quatrième zéro pow(13,0.5+30.424j)=-3.157+1.74j
ou enfin pow(13,0.5+32.935j)=-3.391+1.224j.
On vérifie alors que sqrt(0.448*0.448+3.577*3.577)=3.605=sqrt(13)
et de même pour le second zéro que sqrt(3.14*3.14+1.77*1.77)=sqrt(13).

Au sujet de l'indiscernabilité des zéros de zêta d'hier, ça ne va pas : quel que soit le complexe a+bi, quand on élève un entier à la puissance de ce complexe, seul a et l'entier considéré interviennent dans le calcul de la norme. Ce n'est pas le cas lorsqu'on élève un complexe à une puissance complexe.

| x ^ (a+bi) | = | x^a |
pour x entier mais pas pour x complexe.