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D'abord, regarder des spirales suite au
visionnage d'une video sur zêta.
Parfois, l'angle entre deux
côtés successifs est constant, parfois, c'est la longueur du côté
qui l'est.
Bien-sûr
que ça se pourrait que deux polygones ayant le même nombre de
côtés, avec des côtés de longueurs proportionnelles 2 à 2, et
d'angles égaux 2 à 2, ayant notamment comme plus grand côté un
côté de longueur 1 (allant de l'origine au point d'abscisse 1 de
l'axe réel) et des côtés de plus en plus petits de tailles les
images des entiers successifs par une certaine fonction, se referment
tous les 2 sur 0.
Ce qu'il faudrait comprendre, c'est pourquoi
les côtés ont forcément pour longueurs les inverses des racines
carrées simples des entiers successifs et pas les inverses des
racines cubiques, ou les inverses des racines quartiques ou les
inverses des racines quintiques, ou même les inverses des racines
3.14-tiques (!).
Ces polygones acceptables font un peu
penser à des "duals" de la spirale de Théodore, dont tous
les côtés valent 1 et dont les segments vers l'origine de la
spirale sont de longueurs les racines carrées des entiers
successifs. Là, ce sont les côtés des polygones qui doivent avoir
pour longueurs les inverses des racines (carrées possiblement mais
impossiblement cubiques, quartiques, etc) des entiers
successifs.
L'ange de la géométrie et le démon de
l'algèbre, qu'ils disaient... Encore faudrait-il avoir une très
bonne imagination visuelle.
Se
pourrait-il que le polygone à côtés de longueurs décroissantes
associé à Z'1, dont les côtés seraient plus longs un à un de
tous les côtés de Z1 mais dont les angles seraient identiques à
ceux de Z1, aboutisse aussi, au terme du chemin, au point 0 ?
On
pense à cela suite au visionnage de la video dont on a shooté des
images en lien avec l'idée énoncée là.
Si deux tels
polygones ne pouvaient exister sous prétexte qu'ils ne pourraient
tous deux "ramener à zéro" en ayant des côtés en
rapport double l'un de l'autre (pour 2/3 / 1/3) ou bien en rapport
quadruple l'un de l'autre par exemple (pour 4/5 / 1/5) ou en rapport
p-1 l'un de l'autre (pour p-1/p / 1/p), alors peut-être que les
seuls polygones acceptables seraient ceux pour lesquels le rapport
des côtés est de 1 puisque 1/2 = 1 - 1/2.
Sur
les screenshots, s est le point jaune et zeta(s) est le point vert.
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